Nombre imaginaire pur et réciproque - Corrigé

Énoncé

Soit $z\in \mathbb{C}\setminus \{1\}$ .

1. Montrer que si $\left|z\right|=1$ , alors ${\displaystyle \frac{1+z}{1-z}}$ est un nombre imaginaire pur.

2. Montrer que la réciproque de cette proposition est aussi vraie.

Correction

1.  $|z|=1$ donc il existe  $\theta \in \mathbb{R}$ tel que $z={\text{e}}^{i\theta }$ . En factorisant par l'angle moitié, on montre que  ${\displaystyle \frac{1+z}{1-z}}=i{\displaystyle \frac{\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)}{\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)}}$ .  Donc   ${\displaystyle \frac{1+z}{1-z}}$ est un nombre imaginaire pur.

2. On suppose que ${\displaystyle \frac{1+z}{1-z}}=ix$ , avec $x$ un réel. On exprime $z$ en fonction de $x$ , puis on calcule son module. On a  ${\displaystyle \frac{1+z}{1-z}}=ix⟺1+z=ix(1-z)⟺z={\displaystyle \frac{-1+ix}{1+ix}}$ . 
Donc $\left|{\displaystyle \frac{-1+ix}{1+ix}}\right|={\displaystyle \frac{|-1+ix|}{|1+ix|}}={\displaystyle \frac{\sqrt{1+x^2}}{1+x^2}}=1$ .

On a montré que si   ${\displaystyle \frac{1+z}{1-z}}$   est un nombre imaginaire pur, alors $|z|=1$ .